幂函数的性质_幂函数的性质与图像
1、幂函数的概念
一般地，函数
例1、已知幂函数
分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键。
解答：由于
所以
当时，
当时，
故所求幂函数
2、幂函数的图象和性质
图象：
（1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点；
（2）如果
（3）如果
（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。
例2、比较
分析：先利用幂函数
解答：
而在上单调递增，且
例3、若函数
分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。
函数
解答：由于
例4、若点
分析：首先根据幂函数的定义求出
解答：设
又设
在同一坐标系下画出函数和的图象，如图所示，则有
例5、已知幂函数
分析：先根据单调性求出m的取值范围，再由奇偶性进一步确定m的取值。讨论
解答：由在上是减函数得
又因为是偶函数，∴只有当
于是
当
当
当且
当且时，为既奇又偶函数。
例6、已知幂函数
（1）求的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中求得的函数，设函数
分析：第一问先根据单调性求出的取值范围，再由奇偶性进一步确定的取值。第二问可根据复合函数单调性的规律来解。
解答：（1）∵幂函数
又
∵在定义域上是偶函数，∴只有当
（2）由，则
假设存在实数，使得满足题设条件。令
∵在上是减函数，∴当
若在区间上是减函数，且在区间上是增函数，则
∴
故存在实数，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数。